La ley de los Grandes Números:
Jacob Bernoulli descubrió que las frecuencias observadas se acercaban al verdadero valor previo de su probabilidad al hacer crecer el número de repeticiones del experimento. Pero él quería encontrar una prueba científica que no sólo probara que al aumentar el número de observaciones de la muestra se podía estimar la probabilidad auténtica con el grado de precisión deseado en cada ocasión, sino que permitiera calcular explícitamente cuántas observaciones eran necesarias para garantizar esa precisión de que el resultado queda dentro de un intervalo predeterminado alrededor de la verdadera solución.
El experimento que consiste repetir una prueba con la misma probabilidad de éxito un número grande de veces recibió el nombre de “experimento de Bernoulli” y, más adelante, tras la creación del concepto de variable aleatoria, la variable que contabiliza el número de éxitos en N pruebas se llamó ‘Bernoulli’ o ‘binomial’.
Bernoulli era consciente de que, en situaciones reales y cotidianas, la certeza absoluta, es decir, la probabilidad 1, es imposible de alcanzar. Por eso introdujo la idea de la “certeza moral”: para que un resultado fuese moralmente cierto, debía tener una probabilidad no menor que 0.999, mientras que un resultado con probabilidad no mayor que 0.001 se consideraría “moralmente imposible”. Fue para determinar la certeza moral de un suceso para lo que Bernoulli formuló su teorema, la ley de los Grandes Números.
Para tener una idea intuitiva de este concepto, Bernoulli propuso el siguiente ejemplo: una urna con 30.000 bolas blancas y 20.000 negras, aunque el observador no lo sabe, pues lo que quiere es determinar la proporción entre bolas blancas y negras, sacando una de cada vez, anotando el resultado (éxito si es blanca y fracaso si es negra) y volviéndola a introducir en la urna. Sea N el número de observaciones, X el número de éxitos y p = r/(r+s) la probabilidad de éxito en cada prueba, siendo r el número de bolas blancas y s el de bolas negras. El teorema de Bernoulli afirma que dada cualquier pequeña fracción ε (que su descubridor siempre escribía en la forma 1/(r+s)) y dado cualquier número entero positivo grande c, se puede hallar un número N = N(c) tal que la probabilidad de que X/N difiera de p no más de ε es mayor que c veces la probabilidad de que X/N difiera de p más de ε.
Bernoulli tomó como ejemplo para aclarar este problema c=1.000 y obtuvo como resultado que eran necesarias 25.550 observaciones. La intuición le decía que no hacían falta tantas y, por ello, lo intentó con otros valores de c. Desilusionado por sentir que
había fracasado en su intento de cuantificar la certeza moral, Bernoulli no incluyó en su libro las aplicaciones prometidas.
El que sí lo hizo fue su sobrino Niklaus Bernoulli(1687–1759), que aplicó el resultado de su tío a registros de 14.000 nacimientos y llegó a la inesperada conclusión de que la frecuencia de nacimientos de niños es mayor que la de niñas, en la proporción de 18:17. Los resultados tanto de Bernoulli como de su sobrino fueron confirmados años después por Laplace.
De esta manera, gracias a Bernoulli, se introdujo en la teoría de la probabilidad la ley de los Grandes Números, uno de los conceptos más importantes en calculo de probabilidades, muestreos, etc… y con amplias aplicaciones en muchos campos de la estadística y de las matemáticas y la ciencia en general. Esta ley además será objeto de conversaciones entre matemáticos en los siglos venideros, estando sujeta a constantes estudios, mejoras y ampliaciones hasta prácticamente nuestros días.

Problemas importantes de la historia:

- La ruina del jugador:
El problema consiste en lo siguiente: los jugadores A y B tienen a y b monedas,
respectivamente. Después de cada juego, el ganador le quita una moneda al perdedor. La probabilidad de ganar de A es p la de B es q = 1–p. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador A arruine totalmente al jugador B? Ap
Primeramente digamos que este problema de la “ruina del jugador” tuvo un papel importantísimo en el desarrollo de la teoría de la probabilidad, pues era bastante complejo para la época y exigió la creación de nuevos métodos para su resolución;
Además fue el inicio de toda la matemática relativa a los procesos estocásticos y parte de la teoría de la decisión y los juegos.
Este problema fue propuesto por primera vez por Huygens en uno de sus libros, y lo acompañó de una solución que años después Bernoulli criticó argumentando que restringía la posibilidad de encontrar una regla general para el resolver el problema.
Otros matemáticos como De Moivre, Laplace o Nicolás Bernoulli también trabajaron en este problema, demostrando que eran capaces de trabajar con operaciones y sucesos probabilísticas muy avanzados para la época y que conocían la aplicación de multitud de teoremas incluso antes de ser formulados formalmente.
Los primeros que dieron solución a este problema fueron De Moivre y Nicolás Bernoulli, prácticamente a la vez, entorno a 1710, y de manera independiente.